Парадокс дней рождения

Представьте себе отдел, в котором 23 человека.
Какова вероятность того, что дни рождения (число и месяц, без учёта года) хотя бы у двух людей в этом коллективе совпадают?

Интуитивно мы понимаем, что вероятность такого совпадения должна быть очень мала. Если же применить математические расчёты, окажется, что вероятность составит более 50%!

Это один из так называемых парадоксов теории вероятностей – парадокс дней рождения.
Он гласит, что в группе, состоящей из 23 или более человек, вероятность совпадения дней рождения хотя бы у двух людей превышает 50 %.

Такое утверждение действительно может показаться неправдоподобным, так как вероятность совпадения дней рождения двух человек с любым днём в году (1/365 = 0,27 %), умноженная на 23, даёт лишь (1/365)×23 = 6,3 %. Но это рассуждение неверно.

Вероятность совпадения дней рождения у двух человек в отделе определяется количеством пар людей, которые можно составить из 23 человек. Так как порядок людей в парах не имеет значения, общее число таких пар равно числу сочетаний из 23 по 2, то есть (23× 22)/2 = 253 пары.
Спорим, интуитивная оценка вероятности совпадения изменилась? 😊

Если перейти к вычислениям и подсчитать вероятность того, что все 23 дня рождения различны, мы получим 49,3 %. Таким образом, вероятность совпадения дат – 50,7 %.
Всё равно верится с трудом, да? На то парадоксы теории вероятностей и парадоксы.

Отдельно хочется отметить, что в формулировке речь идёт о совпадении дней рождения у_ каких-либо_ двух людей из группы. Зачастую этот случай ошибочно путают с похожим: когда оценивается вероятность того, что дни рождения членов группы совпадут с днём рождения одного человека. В таком случае вероятность совпадения значительно ниже.

Итак:
• невероятное вероятно,
• будьте внимательны к условиям задач,
• если рядом с вами 22 человека или больше, вероятность того, что у кого-то из вас день рождения совпадает, превышает 50% 😊